Deret Dan Baris Aritmatika

TIP & TRIK MATEMATIKA
DERET ARITMATIKA

---

Mungkin kita pernah menemui soal UAN mengenai deret aritmetika seperti ini :

Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika dinyatakan dengan persamaan Sn = �(2n + 6). Suku ke 6 deret tersebut adalah .......
A. 12	D. 16
B. 10	E. 18
C. 14

�
Untuk menyelesaikan soal ini tentu saja kita harus mencari dulu suku ke-n deret aritmetika dengan persamaan standar U_n = S_n � S_n-1.

U_n =  �(2n + 6) -  �(2(n-1) + 6)
U_n �= n² + 3n � ( (n-1)² + 3(n-1) )
U_n �= n² + 3n � ( n² � 2n + 1 + 3n � 3 )
U_n �= 2n + 2
�
Sehingga kita dapatkan  U₆ = 2(6) + 2 = 14
�
TIPS & TRIK UNTUK SOAL INI.
�
Langkah 1  :  Rubah Persamaan S_n menjadi S_n = xn² + yn
Langkah 2  :  Cari U_n dengan trik :
                                                        �
�
Maka soal tersebut bisa diselesaikan sbb :
�
                     S_n �= n² + 3n
�����������������������
Maka : U_n �= 2n + 3 � 1 = 2n + 2

            U₆ = 2(6) + 2 = 14
Kita lihat bahwa soal bisa diselesaikan dengan lebih cepat dan mudah.
�
�
Selanjutnya kita lihat soal lain sbb :

Rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah Sn = n2 + 3n. Beda deret tersebut adalah .......
A. 6	D. - 4
B. 4	E. -6
C. 2

Jika yang ditanyakan suku pertama atau beda dari deret aritmetika, kita bisa juga menggunakan trik di atas, namun untuk mengerjakan lebih cepat kita bisa menggunakan trik :
�
Langkah 1 ��:  Ubah Persamaan Sn Menjadi  S_n = xn² + yn
Langkah 2 ��:  Cari a dan b dengan trik :        a = x + y
                                                                    b = 2x
�
Untuk soal di atas karena S_n = n² + 3n , maka : b = 2(1) = 2 

Barisan dan Deret Aritmetika

Posted on 27 Oktober 2012by yos3prens

Barisan bilangan merupakan urutan bilangan yang dibuat dengan aturan tertentu.Barisan aritmetika merupakan suatu barisan bilangan yang setiap pasangan suku-suku yang berurutan memiliki selisih yang sama. Contoh dari barisan aritmetika adalah sebagai berikut.

7, 10, 13, 16, 19, …

Perhatikan bahwa setiap pasangan berurutan pada barisan tersebut memiliki selisih yang sama, yaitu 10 – 7 = 13 – 10 = 16 – 13 = 19 – 16 = 3. Selisih bilangan-bilangan berurutan pada barisan aritmetika disebut beda, dan biasanya disimbolkan dengan b. Sedangkan bilangan-bilangan yang menyusun barisan disebut suku. Suku ke-n dari suatu barisan disimbolkan dengan U_n. Sehingga U₅ merupakan simbol dari suku ke-5. Khusus untuk suku pertama dari suatu barisan, disimbolkan dengan a.

Suku ke-n Barisan Aritmetika

Pasangan suku-suku berurutan pada barisan aritmetika memiliki beda yang sama, sehingga:

U₂ = a + b
U₃ = U₂ + b = (a + b) + b = a + 2b
U₄ = U₃ + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U₅ = U₄ + b = (a + 3b) + b = a + 4b

Dari pola di atas, dapatkah ditentukan suku ke-7, suku ke-23, dan suku ke-50? Dengan menggunakan pola di atas, dapat diketahui dengan mudah suku ke-7, suku ke-23, dan suku ke-50 dari barisan tersebut.

U₇ = a + 6b
U₂₃ = a + 22b
U₅₀ = a + 49b

Sehingga suku ke-n dari barisan aritmetika dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut:

U_n = a + (n – 1)b, untuk n bilangan asli

Deret Aritmetika

Deret aritmetika merupakan penjumlahan dari semua anggota barisan aritmetika secara berurutan. Berikut ini merupakan salah satu contoh dari deret aritmetika.

7 + 10 + 13 + 16 + 19 + …

Bagaimana cara menentukan hasil dari deret aritmetika, jika diambil n suku pertama? Misalkan akan dijumlahkan 5 suku pertama dari barisan 7, 10, 13, 16, 19, …

7 + 10 + 13 + 16 + 19 = 65

Bagaimana jika yang akan ditentukan adalah jumlah dari 100 suku pertama? Tentunya kita akan kesulitan untuk menghitungnya satu persatu. Berikut ini adalah cara menentukan jumlah dari 5 suku pertama barisan aritmetika di atas tetapi dengan cara yang berbeda.

Misalkan S₅ = 7 + 10 + 13 + 16 + 19, maka

Sehingga nilai S₅, jumlah 5 suku pertama dari barisan tersebut, adalah 26 × 5 : 2 = 65.

Perhatikan bahwa S₅ di atas dapat dicari dengan mengalikan hasil penjumlahan suku pertama dan suku ke-5, dengan banyaknya suku pada barisan, kemudian dibagi dengan 2. Analogi dengan hasil ini, jumlah n suku pertama dari suatu barisan dapat dicari dengan rumus berikut:

S_n = (a + U_n) × n : 2

Karena U_n = a + (n – 1)b, maka rumus di atas menjadi,

S_n = (2a + (n – 1)b) × n : 2